三角形的五心(內心、外心、重心、垂心、旁心)

1.三角形三中線的交點叫做重心。
2.三角形三中垂線的交點叫做外心。
3.三角形三角平分線的交點叫做內心。

三角形的五心

名稱 定義 圖示 備註 內心 三個內角 的角平分線 的交點 三角形 內切圓 的圓心 外心 三條邊的 垂直平分線 的交點 三角形 外接圓 的圓心 垂心 三條高 的交點 形心 （重心） 三條中線 的交點 被交點劃分的 線段比例為1:2 （靠近角的 一段較長） 旁心 外角的 角平分線 的交點 有三個， 為三角形 某一邊上的 旁切圓 的圓心

垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，稱為歐拉線。
關於三角形的五心，有這樣的一首詩：內心全靠角平分，外心中點垂線伸，垂心垂直畫三高，形心角連線中心。

外接圓和內切圓半徑

三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．

垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.

内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

外 心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．

按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.


重心是中线交点，内心是角平分线交点(或内切圆的圆心)，
外心是中垂线交点(或外接圆的圆心)，垂心是高线交点,
这称三角形的四心.
还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)
只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.