2010年11月25日星期四

g10-指數冪

维基百科

--指數冪

冪（音同「覓」），指乘方運算的結果。

n m

指將

n

自乘

m

次。把

n m

看作乘方的結果，叫做n的m次冪。

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義，但並未提出不定義之理由。

冪不符合結合律和交換律。

因為十的次方很易計算，只需在後加零即可，所以科學記數法藉助此簡化記錄數的方式；二的冪在計算機科學中很有用。

重要的恆等式

[編輯]運算法則

$a^{m + n} = a^m \times a^n.$

$a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}$

如果a ≠ 0，則 $(a^m)^n = a^{m \cdot n}.$

$(a \times b)^n = a^n \times b^n.$

[編輯]其他等式

$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$

$x^{-m}= \frac{1}{x^m} \qquad (x \ne 0)$

$x^0=1 \qquad$

$x^1=x\,\!$

$x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad (x \ne 0)$

(x m) n = x m n

$x^i=e^{i \ln x}=\cos(\ln x) + i \sin (\ln x), \quad i^2 = -1$

[編輯]運算律

加法和乘法遵守交換律，比如：2+3 = 5 = 3+2，2×3 = 6 = 3×2，但是冪的運算不遵守交換律，

23 = 8

，但是

32 = 9

。

同樣，加法和乘法遵守結合律，比如：(2+3)+4 = 9 = 2+(3+4)，(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)，冪同樣不遵守：

(2 3) 4 = 8 4 = 4096

，但是 $2^{(3^4)} = 2^{81} = 2,417,851,639,229,258,349,412,352$ 。冪的運算順序通常由上到下：

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\times c)}=a^{b\times c}.$

正整數指數冪

表達式 $a^2 = a\cdot a$ 被稱作a的平方，因為邊長為a的正方形面積是

a 2

。

表達式 $a^3 = a\cdot a\cdot a$ 被稱作a的立方，因為邊長為a的正方體面積是

a 3

。

所以

32

讀作3的平方，

23

讀作2的立方。

指數表示的是有多少個底數相乘。比如 $3^5 = 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 243$ ，指數是5，底數是3，表示有5個3相乘。

或者，整數指數冪可以遞歸地定義成：

$a^n= \begin{cases} a & (a= 0) \\ a \cdot a^{n-1} & (n> 0) \\ \frac 1 a^{-n} & (n< 0) \end{cases}$

0的冪

0的正數冪都等於0。

0的負數冪沒有定義。

0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義，但並未提出不定義之理由。

[編輯]負1的冪

-1的奇數冪等於-1

-1的偶數冪等於1

指數非常大時的冪

一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大

當

a > 1

， $n \to \infty$ ， $a^n \to \infty$

當

a < - 1

， $n \to \infty$ ， $a^n \to -\infty$

一個絕對值小於1的數的冪趨於0

當

| a | < 1

， $n \to \infty$ ， $a^n \to 0$

1的冪永遠都是1

當

a = 1

， $n \to \infty$ ， $a^n \to 1$

如果數a趨於1而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：

當 $n \to \infty$ ， $(1+\frac{1}{n})^n \to e$

N次方根

從上到下： $x^{\frac{1}{8}},\ x^{\frac{1}{4}},\ x^{\frac{1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}$

主條目：方根

一個數a的n次方根是x，x使

x n = a

。

如果a是一個正實數，n是正整數，那麼方程

x n = a

只有一個正實數根。這個根被稱為a的n次方根，記作： $\sqrt[n]{a}$ ，其中 $\sqrt{\ }$ 叫做根號。或者，a的n次方根也可以寫成 $a^{\frac{1}{n}}$ . 例如 $4^{\frac{1}{2}} = 2,\ 8^{\frac{1}{3}} = 2$

當指數是 $\frac{1}{2}$ 時根號上的2可以省略，如： $\sqrt{4} = \sqrt[2]{4} = 2$

[編輯]有理數冪

有理數指數通常可以理解成

$a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

[編輯]e的冪

主條目：指數函數

這個重要的數學常數e，有時被叫做歐拉數，近似2.718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。它是從以下極限定義的：

$e =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n$

指數函數的定義是：

$e^x =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n} )^n$

可以很簡單地證明e的正整數k次方

e k

是：

$e^k = (\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} ) ^n)^k$

$= \lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{n} ) ^n)^k$

$= \lim_{n \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k}$

$= \lim_{n \cdot k \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k} = \lim_{m \to \infty} (1+\frac k m )^m$

[編輯]實數指數冪

因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數x可以定義成：

$b^x = \lim_{r \to x} b^r,$

例如：

$x \approx 1.732$

於是

$5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241$

實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。

ln x

是指數函數

e x

的反函數。它的定義是：對於任意

b > 0

，滿足

b = e ln b

根據對數和指數運算的規則：

$b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}$

這就是實數指數冪的定義：

$b^x = e^{x\cdot\ln b}\,$

實數指數冪

b x

的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。

[編輯]負實數的實數冪

如果a是負數且n是偶數，那麼

x n = a

無實數解。如果a是負數且n是奇數，那麼

x n = a

有一個負數解。

使用對數和有理數指數都不能將

a k

（其中a是負實數，k實數）定義成實數。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於 $a^\frac{m}{n}$ （n是奇數）可以使用n次方根來計算，但是因為沒有實數x使

x 2 = - 1

，對於 $a^\frac{m}{n}$ （n是偶數）時必須使用虛數單位i。

使用對數的方法不能定義a ≤ 0時的

a k

為實數。實際上，

e x

對於任何實數x都是正的，所以

ln(a)

對於負數沒有意義。

使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數a因為它依賴於連續性。函數

f (r) = a r

對於任何正的有理數a是連續的，但是對於負數a，函數f在有些有理數r上甚至不是連續的。

例如：當a = -1，它的奇數次根等於-1。所以如果n是正奇數整數， $-1^{\frac m n}=-1$ 當m是奇數， $-1^{\frac m n}=1$ 當m是偶數。雖然有理數q使

- 1 q = 1

的集合是稠密集，但是有理數q使

- 1 q = - 1

的集合也是。所以函數

- 1 q

在有理數體不是連續的。

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