2010年11月25日 星期四

g10-對數

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-對數




各種基的對數: 紅色函數基是e綠色函數底數是10,而紫色函數基是1.7。在數軸上每個刻度是一個單位。所有基的對數函數都通過點(1,0),因為任何數的0次冪都是1,而底數β的函數通過點(β, 1),因為任何數的1次冪都是自身1。曲線接近y軸但永不觸及它,因為x=0的奇異性。




在數學中,數x(對於β)的對數by指數y,使得x=βy。基β的值一定不能是1或0(在擴展到複數複對數情況下不能是1的方根),典型的是10、e或2。數x(對於基β)的對數通常寫為
y=\log_\beta x\
xβ進一步限制為正實數的時候,對數是一個唯一的實數。
例如,因為
3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\
我們可以得出
4=\log_381\
用日常語言說,以3為基81的對數是4。



對數函數

函數logβ(x)依賴於βx二者,但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如logβ(x)的函數,在其中β是固定的而只有一個參數x。所以對每個基\beta=|R|\ne1,0的值(必須是正數及不是1)只有唯一的對數函數。從這個角度看,基β的對數函數是指數函數y = βx反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的一個特定值。
對數函數圖像和指數函數圖像關於直線y=x對稱(互為反函數)。
對數函數的性質有:
  • 都過(1,0)點;
  • 定義域為R+,值域為R;
  • β>1,在(0,+∞)上是增函數;1>β>0時,在(0,+∞)上是減函數


常用公式

  • 基本
\ \log_a{a^x} = x
  • 和差
\ \log{a} + \log{b} = \log{ab}
\ \log{a} - \log{b} = \log{\frac{a}{b}}
  • 指係
\ \log{x^n} = n \log{x}
\ \log_{a^m}{x^n} = \frac{n}{m} \log_{a}{x}
  • 換底
\ \log_a{x} = \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}
  • 還原
\ a^{\log_a{x}} = x
  • 互換
\ a^{\log{b}} = b^{log{a}}
  • 倒數
\ \log_a{x} = \frac{1}{\log_x{a}}
  • 次方
\ \log_a{x} = \log_{a^n}{x^n}
  • 連鎖
\ \log_a{b} \cdot \log_b{c} \cdot \log_c{d} = \log_a{d}



有理和無理指數

如果n有理數βn表示等於βn個因子的乘積:
\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n
但是,如果β是不等於1的正實數,這個定義可以擴展到在一個中的任何實數n(參見)。類似的,對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數β,有一個對數函數和一個指數函數,它們互為反函數。
對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。所以,在發明電子計算機之前,對數對進行冗長的數值運算是很有用的,它們廣泛的用於天文工程航海測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。



底數

最常用做底數的是10、數學常數e ≈ 2.71828...和2。當寫出不帶底數的「log」的時候,意圖要從上下文中確定:
為了避免混淆,在可能有歧義的時候最好指定底數。

[編輯]換底數

儘管有很多有用的恆等式,對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是loge和log10)的其他底數的對數。要使用其他底數β找到底數α的對數:
\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}
此外,這個結果蘊涵了所有對數函數(不管什麼底數)都是相互類似的。所以用計算器計算16的底數2的對數:
\log_515625=\frac{\log_\beta15625}{\log_\beta5}

[編輯]對數的用途

對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數,所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式bn = x中,b可以從xn方根nx 的b底數的對數,xbn次的來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函數的一些規則。

[編輯]簡便計算

對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數,就會使特定運算更容易:
數的運算冪的運算對數恆等式
\,xy\,m+n\,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y
\frac{x}{y}\,m-n\log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y
\,x^y\,mn\,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x
\sqrt[y]{x}\frac{m}{n}\log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}
這些關係使在兩個數上的這種運算更快,在乘法計算器出現之前正確的使用對數是基本技能。

[編輯]群論

從純數學的觀點來看,恆等式
logab = loga + logb
在兩種意義上是基本的。首先,其他三個算術性質可以從它得出。進一步的,它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構
對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。

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