2010年11月25日星期四

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-- 指數函數

指數函數是數學中重要的函數。應用到值 x 上的這個函數寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e^x，這裡的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還叫做歐拉數。

指數函數對於 x 的負數值非常平坦，對於 x 的正數值迅速攀升，在 x 等於 0 的時候等於 1。它的 y值總是等於在這一點上的斜率。

作為實數變量 x 的函數，y=e^x 的圖像總是正的(在 x 軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及 x 軸，儘管它可以任意程度的靠近它(所以，x 軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數 ln(x)，它定義在所有正數 x 上。

有時，特別是在科學中，術語指數函數更一般性的用於形如 ka^x 的函數，這裡的 a 叫做「底數」，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數 e 的指數函數。

一般的說，變量 x 可以是任何實數或複數，甚至是完全不同種類的數學對象；參見後面的形式定義。

性質

最簡單的，指數函數按恆定速率翻倍。例如細菌培養時細菌總數(近似的)每三個小時翻倍，和汽車的價值每年減少 10% 都可以被表示為一個指數。

使用自然對數，你可以定義更一般的指數函數。函數

$\!\, a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \ln a}$

定義於所有的 a > 0，和所有的實數 x。它叫做底數為 a 的指數函數。注意這個

a x

的定義依賴於先前確立的定義於所有實數上的函數

e x

的存在。(這裡我們先既不在形式上的也不概念上明確這樣一個函數是否存在，或非自然指數意味着什麼。)

注意上述等式對於 a = e 成立，因為

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.$

指數函數可「在加法和乘法之間轉換」，在下列「指數定律」的前三個和第五個中表述:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

它們對所有正實數 a 與 b 和所有實數 x 與 y 都是有效的。涉及分數和方根的表達式經常可以使用指數符號簡化:

${1 \over a} = a^{-1}$

對於任何 a > 0，實數 b，和整數 n > 1:

$\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}.$

指數爆炸是指指數函數的增加過程中，初始時十分緩慢，但逐步加速，以至於其函數圖像將會與y軸平行。