2010年11月25日星期四

g10-一元二次方程

维基百科

- 一元二次方程

例如，

x 2 - 3 x + 2 = 0

， $\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0$ ，

t 2 - 3 = 0

等都是一元二次方程。

公式解法

對於 $ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$ ，它的根可以表示為：

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

根的判別式
對於實係數一元二次方程 $ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!$ ， $\Delta=b^2-4ac \,\!$ 稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：
如果 $Δ > 0$ ，則這個一元二次方程有兩個不同的實數根。如果 $Δ$ 是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根都是實數。

如果 $Δ = 0$ ，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。而且這兩個根皆為

$x=-\frac{b}{2a}\,\!$
如果 $Δ < 0$ ，[(Δ < 0)與(Δ > 0)]，正負號相反，則這個一元二次方程有兩個不同的複數根。這時根為

$\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ i^2 &= -1 \end{align}$

根與係數
根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。
$x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!$

圖像解法

$Δ > 0$ ，則該函數與x軸相交（有兩個交點）
$Δ = 0$ ，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）
$Δ < 0$ ，則該函數與x軸相離（沒有交點）
一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的根的幾何意義是二次函數 $y = a x 2 + b x + c$ 的圖像（為一條拋物線）與x軸交點的X坐標。

$a x 2 + b x + c = 0$ 的解是 $y = x 2$ 和 $y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} \,\!$ 交點的X座標
另外一種解法是把一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 化為
$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!$ 的形式。
則方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的根，就是函數 $y=x^2\,\!$ 和 $y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!$ 交點的X坐標。
通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法
在使用計算機解一元二次方程時，跟人手工計算類似，大部分情況下也是根據下面的公式去解
$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$
可以進行符號運算的程序，比如Mathematica, 可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部份顯示平方根及虛數)

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